Autentificare   |   Cumparaturi   |   Contact    
 

APROXIMAREA FUNCŢIILOR PRIN INTERPOLARE

APROXIMAREA FUNCŢIILOR PRIN INTERPOLARE


50,00 lei cu TVA

APROXIMAREA FUNCŢIILOR PRIN INTERPOLARE

 

 

 

 

Numar de pagini: 98

Diacritice: Da

Format: Word

Prezentare Power Point: Nu

Pret: 50  lei

 

 

DESCRIERE:

CUPRINS:

INTRODUCERE …………………………………………………..……..pag.4 Capitolul I : Interpolare Polinomială ………………………….…..……pag.6 1.1.      Noţiuni  Introductive………………….….………………… ..…...pag.6

                        Polinomul de interpolare Lagrange  ………..…………………..…pag.7

                        Interpolarea cu ajutorul programelor Maple şi  Matlab………..…pag.15

                        Interpolarea iterativă. Metoda  Aitken……………………………pag.17

                        Interpolarea iterativă. Metoda  Neville…………………………...pag.19

                        Diferenţe Divizate.Polinomul Newton de  interpolare……………pag.20

                        Diferenţe finite. Polinomul Newton ascendent şi  descendent……pag.30

1.8.     Polinoame  Cebâşev………………………………………………pag.37

Capitolul II : Interpolarea cu ajutorul funcţiilor spline  ………....……pag.41

                        Funcţii Spline – Introducere  …………...………………………...pag.41

                        Funcţii Spline de gradul I  ………………………………………..pag.42

                        Funcţii Spline de gradul II  ……………………………………….pag.44

                        Funcţii Spline de gradul III  ………………………………...……pag.46

                        Evaluarea erorii de interpolare prin funcţii spline  ….……………pag.51

                        Utilizarea Maple şi Matlab pentru interpolare prin funcţii  spline..pag.54

Capitolul III : Aplicaţii ale interpolării  funcţiilor…………...…....……pag.56

             Utilizarea interpolării la derivarea numerică  …………………….pag.56

      Utilizarea interpolării la integrala numerică…………………...…pag.60 Capitolul VI : Aspecte metodice şi metodologice…... ………….....……pag.65 4.1.      Aspecte  generale…………………………………………………pag.65

                         Metode de predare  învăţare……………...………………………pag.68

                         Metode de rezolvare a problemelor……………………………..  pag.83

                         Utilizarea interpolării în rezolvarea unor  probleme……………..pag.85

Bibliografie  ……………………………………………………………….pag.97

 

EXTRAS DIN LUCRARE:

În rezolvarea unor probleme practice (de fizică, economice , sociale) suntem puşi în situaţia de a modela funcţii necunoscute ca expresie şi definite doar prin valorile lor în anumite puncte. De aceea este necesară găsirea unei funcţii de aproximare cu o formă analitică mai simplă . Aproximarea mai poate fi utilă şi atunci când funcţia este cunoscută dar are  o  formă  complicată, dificil de manipulat  în calcule .

Pentru determinarea unei funcţii de aproximare g(x) pentru o funcţie  f(x) trebuie impus un criteriu de aproximare. De regulă , criteriile de aproximare se împart în două categorii:

a)    Funcţia de aproximare trebuie să treacă prin punctele  cunoscute:

g(xi) = f(xi)

b)    Funcţia de aproximare nu trebuie să treacă prin punctele cunoscute, dar să aproximeze cât mai bine valorile cunoscute. (de ex. Metoda celor mai mici pătrate).

În lucrarea de faţă , ne vom ocupa de primul caz, funcţia g(x) numindu- se funcţie de interpolare , iar operaţia de determinare a ei se numeşte interpolare.

Prin interpolare se înţelege o metodă de calcul a unui nou punct între două puncte cunoscute. Cuvântul interpolare provine de la : ,,inter = între” şi

,,pole = punct sau nod” , deci interpolare înseamnă o metodă de calcul a unui nou punct între două puncte cunoscute.

i

Exemple :

 

 

- interpolare polinomială  :


f (x)


n

» å

i=0


ai x

 

 

- interpolare trigonometrică :


f ( x) »


n

å ak k = 0


cos kx + bk


sin kx

 

(serii Fourier)

 

 

-    interpolare exponenţială  :


( x ) »


n

i

i = 0


a  e k i x   .

 

Dintre posibilităţile prezentate mai sus , cea mai utilizată este cea polinomială , datorită uşurinţei cu cu care se integrează şi se  derivează.

Baza  teoretică  a  aproximării  polinomiale  o   constituie  teorema                lui Weierstrass, în care se arată ca orice funcţie continuă f(x) poate fi   aproximată

 

cu o precizie oricât de bună pe un interval dat închis, de un  polinom


P( x) .

 

 

 

Teoremă : Fie funcţia f : [a,b] → R , o funcţie continuă. Atunci f(x) poate fi aproximată uniform de un şir de polinoame {Pk(x)}  cu  o  acurateţe prestabilită.

 

Adică     pentru     o   funcţie  continuă       ,   există   un   şir de polinoame  {Pk(x)}  cu proprietatea că

 

 

lim P(x) =

k ®¥


f (x)

 

Demonstraţie Se consideră funcţia ajutătoare F : [0, 1] → R , F(t) = f ( a + t (b – a )) , t ∈ [0, 1]

Funcţia F  îndeplineşte  condiţiile din teorema  lui  Bernstain  ,  care spune   că

pentru  orice  funcţie  continuă  f  :  [0,  1] → R           şi  (Bn)n≥1  un  şir de funcţii polinomiale definit astfel :

n

 

å  æ k ö       k    k


n - k

, pentru orice x∈[0,1]

 

Bn(x)  =


f ç    ÷ × Cn  x


(1 - x)

 

k = 0


è n ø

 

Atunci  (Bn)n≥1  converge uniform la f.

Deci fie (Bn)n≥1  polinoamele asociate funcţiei F(t) şi

 

P(x ) =


æ

B k ç


x    a ö

÷


, x Î[a, b]

 

è a ø

 

Atunci  :


sup

xÎ[a,b]


f (x) - Pn (x)


= sup

xÎ[0,1]


f (x) - Bn (x) ® 0

 

NOTĂ : Din păcate , teorema lui Weierstrass nu oferă un criteriu practic de aflare a polinomului potrivit.

 

Capitolul I

INTERPOLAREA POLINOMIALĂ

 

                  NOŢIUNI  INTRODUCTIVE

 

Fie o funcţie     f : [a,b] → R , se pune problema aproximării  ei printr-un polinom când se cunosc valorile funcţiei în anumite puncte xi ∈ [a, b] , i= 0, n .

                       Definiţie Mulţimea de puncte  xi ∈ [a, b] , i= 0, cu proprietatea :

 

a ≤ x0 < x1 < x2 <............. < xn ≤ b se numeşte diviziune  a intervalului [a, b] şi  o vom nota cu d[a, b] .

Se presupune că se cunosc valorile funcţiei f în punctele xi şi anume : f(xi) = yi   , adică :

xi

x0

x1

x2

.........................

xn

f(xi)

f(x0)= y0

f(x1)= y1

f(x2)     = y2

..........................

f(xn) = yn

 

 

Se pune problema determinării unui polinom Pn(x) ∈ R[X] , Pn(x) = a0  + a1x + a2x2 + .................. anxn   , cu următoarele proprietăţi :

 

1)    grad Pn ≤ n;

2)    Pn(xi) = f(xi) = yi    , pentru orice  0 ≤ i ≤ n .


(1.1)

 

Un astfel de polinom poartă denumirea de polinom de interpolare ataşat funcţiei f(x).

                       Definiţie Pentru orice alt punct x ≠ xi , diferenţa dintre funcţia f(x) şi polinomul de interpolare Pn(x) poartă denumirea de rest sau eroare , pe care o notăm cu rn(x).

Deci  f(x) = Pn(x) + rn(x)                                                        (1.2)

 

Dacă restul ecuaţii liniare:


rn (x) ® 0 , atunci  din (1.1) şi (1.2) rezultă un sistem de n+1

 

0         1       0         2       0

+ × + × x 2

0         1       1         2       1

a   + × + × x 2

0         1       2          2       2

+ × + × x 2


+ ... + × xn =

n       0

 

n       1

+ ... + × xn =

n       2

+ ... + × xn =


f (x0 )ü

ï

f (x1 ) ï

2   ý

f (x


 

 

 

(1.3)

 

...............................................................  ï

ï

 

n

 

n

 

n

a0  + a1


×                 xn


+   a2


× x 2  + ... + a


×  xn  =


f (x

n

þ

 

 

 

Soluţia     acestui     sistem     o    constituie     chiar     coeficienţii     polinomului      de aproximare căutat.  Determinantul acestui sistem:

2                         

x

 

x

n

0

 

0

1    x0                        ...

 

1

D = 1

... 1


x1 x2

...

xn


2

x

1

x

2

2

...

x

2

n


...

...

...

...


n

x

1

x

n

2

...

x

n n

 

este cunoscut ca determinantul  lui Vandermonde.  Acesta este nenul    ( D ¹ 0 )

 

 

pentru orice


xi   ¹ x j (i ¹


j) .     Rezultă  deci,  ca  sistemul  de  ecuaţii  dat (1.3)

 

 

 

admite o soluţie unică pentru coeficienţii polinomul de interpolare este unic.


a0 , a1 ,..., an


,  cu  alte  cuvinte

 

Pentru un număr  mic de noduri sistemul  se  poate  rezolva  relativ uşor,

dar pentru un număr mai mare de noduri este necesar utilizarea  unui  computer. De-a lungul timpului s-au propus foarte multe variante de generare  a polinomului de interpolare .

 

                  POLINOMUL DE INTERPOLARE  LAGRANGE

 

1.2.2. Teoremă Fie f : [a,b] → R şi x0,  x1, ..., xn  ;  (n+1) noduri  din intervalul [a,b]. Atunci există un polinom unic Pn, de grad cel mult n, care

interpolează funcţia f în nodurile x  ,  0 ≤ i ≤ n  ( f(x )=P (x ) , 0 ≤ i

 

 

 

                       

PREDAREA SE FACE PE CD, PRIN MANDAT POSTAL RAMBURS (PLATA SE FACE LA POSTA), INSA SE POATE AJUNGE SI LA ALTA MODALITATE DE LIVRARE (PE MAIL)

 

PLATA SE FACE LA RIDICAREA COLETULUI.

 

 

Nu exista nici un comentariu inca.

30 produse asemanatoare:

Cos de cumparaturi

Fara produse

Livrare 0,00 lei

TVA 0,00 lei

Total 0,00 lei

* TVA Inclus

Plateste    

» Produse noi